Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若sinC+sin（B-A）=sin2A，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S=3

3

，且c=

13

，C=

π

3

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，变形后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0得到cosA=0或sinA=sinB，由A与B都为三角形的内角，得到A为直角或A=B，即可确定出三角形为直角三角形或等腰三角形；
（2）由sinC及已知的面积，利用三角形面积公式求出ab的值，再由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

解答：解：（1）∵sinC+sin（B-A）=sin2A，且sinC=sin（A+B），
∴sin（B+A）+sin（B-A）=sin2A，即2sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA（sinB-sinA）=0，
∴cosA=0或sinB=sinA，
∵A与B都为三角形的内角，
∴A=

π

2

或A=B，
则△ABC为直角三角形或等腰三角形；
（2）∵△ABC的面积为3

3

，c=

13

，C=

π

3

，
∴

1

2

absinC=

3

4

ab=3

3

，即ab=12①，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：13=a²+b²-ab，即a²+b²=25②，
联立①②解得：a=4，b=3或a=3，b=4．

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．