Question

（本小题满分12分）

    已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且， M是A₁B₁的中点，

    （1）求证：平面ABC；

    （2）求二面角A₁—BB­1—C的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；   （Ⅱ）。

【解析】本试题抓哟是考查了面面垂直和二面角求解的综合运用。

（1）对于线面垂直的证明，一般利用线线垂直，通过判定定理得到线面垂直的证明，关键是

（2）建立合理的空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量，以及借助与向量与向量的夹角表示出二面角的平面角的求解的运算。

（Ⅰ）∵侧面是菱形且 ∴为正三角形

         又∵点为的中点 ∴ 

         ∵∥ ∴

         由已知 ∴平面                          （4分）

   （Ⅱ）（法一）连接，作于，连接

由（Ⅰ）知面，∴

又 ∴面 ∴

∴为所求二面角的平面角       （8分）

设菱形边长为2，则

在中，由知：

在中，   ∴

即二面角的余弦值为                     （12分）

（法二）如图建立空间直角坐标系

设菱形边长为2

得，

，

则，

，

设面的法向量，由,得

，令，得                         （8分）

设面的法向量， 由，得

,令，得                  （10分）

得.

又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为      （12分）