A. | ①④⑤ | B. | ①③④ | C. | ①②④ | D. | ②③⑤ |
分析 根据绝对值的应用将函数进行化简,然后作出函数f(x)的图象,利用数形结合以及三角函数的性质进行判断即可.
解答 解:当sinx≥cosx,即 x∈[2kπ+$\frac{π}{4}$,2kπ+$\frac{5π}{4}$]时,
f(x)=$\frac{1}{2}$(sinx+cosx+|sinx-cosx|)=$\frac{1}{2}$(sinx+cosx+sinx-cosx)=sinx,
当sinx<cosx,x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$,2kπ+$\frac{π}{4}$]时,
f(x)=$\frac{1}{2}$(sinx+cosx+|sinx-cosx|)=$\frac{1}{2}$(sinx+cosx-sinx+cosx)=cosx,
作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如图:取函数的最大值,
即为函数f(x)=max{sinx,cosx},
①函数以2π为周期的周期函数,故①正确,
②由图象知函数的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,故②错误
③由图象知当且仅当x=2kπ-$\frac{3π}{4}$时,函数取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,故③错误,
④由图象知当2kπ-$\frac{π}{2}$<x<(2k+1)π,(k∈Z)时,f(x)>0成立,故④正确,
⑤∵函数的周期是2π,∴f(x)的图象上相邻最低点的距离为2π正确,故⑤正确,
故正确的是①④⑤,
故选:A
点评 本题考查与三角函数的图象和性质有关的命题的真假判断,根据条件先求出函数f(x)的表达式,作出图象,利用数形结合是解决本题的关键,考查学生理解信息的能力.
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数学成绩xi | 90 | 100 | 115 | 130 | |
物理成绩yi | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
A. | 120 | B. | 122.64 | C. | 125 | D. | 127 |
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A. | f(x)在定义域上单调递减 | B. | f(x)在定义域上单调递增 | ||
C. | f(x)是奇函数 | D. | f(x)是偶函数 |
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