Question

11．记函数f（x）=1+$\frac{cosx}{1+sinx}$的所有正的零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，若θ=x₁+x₂+x₃+…x₂₀₁₅，则cosθ的值是（　　）

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由条件可得sinx+cosx=-1，且1+sinx≠0，求得x=2kπ+π，k∈z；从而求得θ=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅的值；再利用诱导公式求得cosθ的值

解答 解：令函数f（x）=1+$\frac{cosx}{1+sinx}$=0，求得sinx+cosx=-1，且1+sinx≠0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinx=0}\\{cosx=-1}\end{array}\right.$，∴x=2kπ+π，（k∈z），
由题意可得x₁ =π，x₂ =2π+π，x₃ =4π+π，…，x₂₀₁₅ =2014×2π+π，
∴θ=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅=（1+2+3+…+2014）2π+2015×π，
∴cosθ=cos（2015×π）=cosπ=-1，
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．