如图10,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.

求证:∠ABC=90°.

图10

证明:如图10.

设=a,=b,

则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.

因为·=(a+b)·(a-b)=|a|²-|b|²=0,

所以⊥.

由此,得∠ABC=90°.

点评:充分利用圆的特性,设出向量.

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相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

科目：高中数学 来源： 题型：

附加题：（选做题：在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题）
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，
已知AB=6，CD=2

，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量e1=

和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e2=

，试求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

y=sinθ+1

x=cosθ

（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

科目：高中数学 来源：2010年江苏省连云港市高考数学模拟试卷（4）（解析版） 题型：解答题

同步练习册答案

几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．