Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2 ，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2 ， 解得a=3，c= ，
所以b2=a2﹣c2=3，
所以椭圆C的方程为 + =1．
（Ⅱ）由
得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得 ．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
则 ， ，
，
所以，A，B中点坐标E（ ， ），
因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即kPEkAB=﹣1，
所以 k=﹣1
解得k=±1，
经检验，符合题意，
所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．