Question

已知平面内的动点P到点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B为轨迹C上的两点，已知FA⊥FB，且△FAB的面积S_△FAB=4，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），根据动点P到点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．代入两点之间距离公式，及点到直线的距离公式，化简即可得到点P的轨迹C的方程；
（2）设直线AB的方程为x=ty+m，结合FA⊥FB，且△FAB的面积S_△FAB=4，我们可以构造出关于m的方程，解方程求出m值，即可求出满足条件的直线AB的方程．

解答：（1）设点P（x，y），根据题意得

(x-1)2+y2

=|x+2|-1
当x≥-2时，则

(x-1)2+y2

=x+1
两边平方化简得y²=4x
当x＜-2时，则

(x-1)2+y2

=-x-3≥0得x≤-3
又由

(x-1)2+y2

=-x-3≥0化简得y2=8x+8
得x≥-1与x＜-2矛盾
故点P的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）设直线AB的方程为x=ty+m
由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0
由△=16t²+16m＞0得t²+m＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m|y1-y2|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

16t2+16m

=4

t2+m

FA

=（x₁-1，y₁），

FB

=（x₂-1，y₂）
由

FA

•

FB

=0，得x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=0
又由x₁=t•y₁+m，x₂=t•y₂+m，得4t²=m²-6m+1
S_△ABF=

1

2

|m-1|×4

t2+m

=|m-1|

4t2+4m

=|m-1|

m2-2m+1

=（m-1）²，
由（m-1）²=4，解得m=-1，或m=3
将m=-1代入4t²=m²-6m+1得t²=2，
将m=3代入4t²=m²-6m+1得4t²=9-18+1=-8＜O不成立，
∴m=3不合是题意舍去
∴所求直线AB的方程为x±

2

y+1=0

点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程，抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，（1）中关键是根据已知，构造关于动点P的方程，（2）的关键是“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”．