Question

定义运算a⊕b=a²+2ab-b²，记函数f（x）=sinx⊕cosx
（Ⅰ）已知tanθ=

1

2

，且θ∈(0 ， 

π

2

)，求f（θ）的值；
（Ⅱ）在给定的直角坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内的简图；
（Ⅲ）求函数f（x）的对称中心、最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由新定义可得函数的解析式，代入化切后计算可得答案；（Ⅱ）由五点法，列表、描点，连线可得图象；（Ⅲ）函数y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），且当x=

π

2

+2kπ (k∈Z)时，y_max=1，把z=2x-

π

4

整体代入解之可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)-----（2分）
∴f(θ)=

sin2θ+2sinθcosθ-cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

tan2θ+2tanθ-1

tan2θ+1

=

1

5

--------（5分）
（Ⅱ）∵f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，运用“五点法”先列表后描点连线，

2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
2 sin(2x- π 4 )	0	2	0	- 2	0

作出函数f（x）在一个周期内的图象如下，





（10分）
（Ⅲ）∵函数y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），且当x=

π

2

+2kπ (k∈Z)时，y_max=1
令z=2x-

π

4

，由2x-

π

4

=kπ (k∈Z)，解得x=

π

8

+

kπ

2

 (k∈Z)
∴函数f（x）的对称中心为(

π

8

+

kπ

2

 ， 0)  (k∈Z)-------（12分）
当2x-

π

4

=

π

2

+2kπ (k∈Z)，即x=

3π

8

+kπ(k∈Z)，f(x)max=

2

-------（14分）

点评：本题考查五点作图，涉及同角三角函数的基本关系和正弦函数的对称性，属中档题．