Question

设P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为

16 3

3

．

Answer 1

分析：根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=10…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=36…②．由①②联解，得PF₁•PF₂=

64

3

，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵椭圆方程是

x2

25

+

y2

16

=1，
∴a²=25，b²=16．可得a=5，c²=25-16=9，即c=3．
∵P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=10…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=6
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=36
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=36…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=

64

3

根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=

1

2

PF₁•PF₂sin60°=

16 3

3

故答案为：

16 3

3

点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点的张角为60度，求椭圆两焦点与该点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的简单性质和正、余弦定理等知识点，属于中档题．