【题目】设为任意给定的质数.证明:一定存在质数
,使得对任意的整数
,数
都不能被
整除.
【答案】见解析
【解析】
要找的质数仅和
有关,与
无关,所以,对任意的正整数
,若
则
.也就是说,若
,则
.
这样,问题就转化为选取适当的,代替
来讨论
.
最简单的选择是取.先对此进行试探性讨论.有
.
如果找到的质因数
,能使得对任意的整数
,
都不能被
整除,那么,就解决了本题.
对的质因数
,
可分为两类:
(1)不能被
整除.对这些
就有
,因而,
.
(2)被
整除.此时,希望对所选取的
的质因数
加上进一步可实现的条件,能有
.
假定这样的存在,取质数
.若存在某个
,使得
,则
.由此及
推出
.其中,
.
注意到,
,或
.
如果取得到质数,使得
,即
,则必有
.
如果再要求,则有
.
这就满足本题的要求.
由以上分析知,只要存在质数q满足条件:
(i).,(ii)
,及(iii)
.这样的质数
就满足本题的要求.
下面具体来找这样的质数.
由前两个条件启发,考虑
的质因数
.
显见,这样的不等于
.
若,则由此及
,
推出.矛盾.
所以,满足条件(i)和(ii).
又,
所以,必有一个质因数
,使得
,即这样的
满足条件(iii).
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【题目】在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、1个体的中心点,这27个点中,共球面的8点组的个数是().
A. 4462 B. 4584 C. 4590 D. 4602
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【题目】在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券2张,每张可获价值50元的奖品;有二等奖券2张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.
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【题目】在地面上同一地点观测远方匀速垂直上升的热气球,在上午10点整热气球的仰角是,到上午10点20分的仰角变成
.请利用下表判断到上午11点整时,热气球的仰角最接近哪个度数( )
0.5 | 0.559 | 0.629 | 0.643 | 0.656 | 0.669 | 0.682 | 0.695 | 0.707 | |
0.866 | 0.829 | 0.777 | 0.766 | 0.755 | 0.743 | 0.731 | 0.719 | 0.707 | |
0.577 | 0.675 | 0.810 | 0.839 | 0.869 | 0.900 | 0.933 | 0.966 | 1.0 |
A. B.
C.
D.
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【题目】“难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小.“难度系数”的计算公式为,其中,
为难度系数,
为样本平均失分,
为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的李老师命制了某专题共5套测试卷(每套总分150分),用于对该校高三年级480名学生进行每周测试.测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示:
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度系数 | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下:
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分;
(2)从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷,记这2套试卷中平均分超过96分的套数为,求
的分布列和数学期望;
(3)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差.设为第
套试卷的实测难度系数,并定义统计量
,若
,则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理,否则认为不合理.试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.
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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求函数g(x)的定义域;
(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
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【题目】给定一个四面体,若存在一个侧面(其所在平面为),使得在将其余三个侧面分别绕其位于平面
上的边向体外方向旋转至平面
上时,四个侧面在平面
上共同组成的图形恰好是一个三角形,则称该四面体是一个“平展四面体”.若有一个平展四面体,它的一个侧面的三边长为a、b、c,试确定a、b、c的关系,并求该四面体的体积(用a、b、c表示).
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【题目】如图 1,在直角梯形中,
,且
.现以
为一边向外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使
平面与平面
垂直,
为
的中点,如图 2.
(1)求证: 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求与平面
所成角的正弦值.
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