Question

设（x+1）⁴（x+4）⁸=a₀（x+3）¹²+a₁（x+3）¹¹+…+a₁₁（x+3）+a₁₂．求：
（1）a₀+a₁+a₂+…+a₁₂的值；
（2）a₀+a₂+a₄+…+a₁₂的值．

Answer 1

分析：（2）要求a₀+a₁+a₂+…+a₁₂的值，需要对表达式中x赋值，x=-2，即可求出表达式的值．
（2）只需令x=-4与x=-2，得到的两个表达式解方程组，即可求出a₀+a₂+a₄+…+a₁₂的值．

解答：解：（1）因为（x+1）⁴（x+4）⁸=a₀（x+3）¹²+a₁（x+3）¹¹+…+a₁₁（x+3）+a₁₂．
当x=-2时，x+3=1．等式化为：（-1）⁴（-2）⁸=2⁸=256=a₀+a₁+a₂+…+a₁₂．
所以a₀+a₁+a₂+…+a₁₂=256…①
（2）．当x=-4时，x+3=-1．等式化为：（-3）⁴（0）⁸=0=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂…②
上述①②两等式相加有：左边=256+0=256，
右边=（a₀+a₁+a₂+…+a₁₂）+（a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂）
=2（a₀+a₂+…+a₁₂） 所以a₀+a₂+…+a₁₂=

256

2

=128
所以a₀+a₂+…+a₁₂=128．

点评：本题是基础题，考查二项式定理的应用，注意考察二项式定理的表达式的特征，通过赋值法解答的本题的关键，考查计算能力．