Question

已知非零实数a，b，c成等差数列，直线ax+by+c=0与曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共点，则实数m的取值范围为

[

3 5

5

， +∞)

．

Answer 1

分析：由非零实数a，b，c成等差数列，知直线ax+by+c=0恒过定点（1，-2）．由直线ax+by+c=0与曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共点，知定点（1，-2）在曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)内或在曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)上，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：∵非零实数a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
∴直线ax+by+c=0恒过定点（1，-2）．
∵直线ax+by+c=0与曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共点，
∴定点（1，-2）在曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)内或在曲线C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)上，
∴

1

m2

+

4

9

≤1，(m＞0)，
解得m≥

3 5

5

．
故答案为：[

3 5

5

，+∞)．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的应用．