【题目】已知, .
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由函数的解析式可得 ,当时, , 在上单调递增;当时,由导函数的符号可知在单调递减;在单调递增.
(Ⅱ)构造函数,问题转化为在上恒成立,求导有,注意到.分类讨论:当时,不满足题意. 当时, , 在上单调递增;所以,满足题意.
则实数的取值范围是.
试题解析:
(Ⅰ) ,
当时, , .∴在上单调递增;
当时,由,得.
当时, ;当时, .
所以在单调递减;在单调递增.
(Ⅱ)令,
问题转化为在上恒成立,
,注意到.
当时, ,
,
因为,所以, ,
所以存在,使,
当时, , 递减,
所以,不满足题意.
当时, ,
当时, , ,
所以, 在上单调递增;所以,满足题意.
综上所述: .
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【题目】“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗,2018年春节前夕, 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标.
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布,利用该正态分布,求落在内的概率;
②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为,求的分布列和数学期望.
附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为;
②若,则,.
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【题目】某地户家庭的年收入(万元)和年饮食支出 (万元)的统计资料如下表:
(1)求关于的线性回归方程;(结果保留到小数点后为数字)
(2)利用(1)中的回归方程,分析这户家庭的年饮食支出的变化情况,并预测该地年收入 万元的家庭的年饮食支出.(结果保留到小数点后位数字)
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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【题目】平面直角坐标系中,圆的圆心为.已知点,且为圆上的动点,线段的中垂线交于点.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点的轨迹为曲线,抛物线: 的焦点为., 是过点互相垂直的两条直线,直线与曲线交于, 两点,直线与曲线交于, 两点,求四边形面积的取值范围.
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【题目】【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】如图,一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发,每一步(均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点,设该蚂蚁经过步回到点的概率.
(I)分别写出的值;
(II)设顶点出发经过步到达点的概率为,求的值;
(III)求.
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【题目】如图,已知四棱锥, 平面,底面中, , ,且, 为的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)问在棱上是否存在点,使平面,若存在,请求出二面角的余弦值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过站的地铁票价如下表:
乘坐站数 | |||
票价(元) |
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过站.甲、乙乘坐不超过站的概率分别为, ;甲、乙乘坐超过站的概率分别为, .
(1)求甲、乙两人付费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量,求的分布列和数学期望.
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