Question

已知A(4，-3)、B(2，-1)和直线l:4x＋3y-2=0，求一点P，使|PA|=?|PB|?，且点P到直线l的距离等于2.

Answer 1

【探究】  由题，P点满足的两个条件，即|PA|=|PB|和到直线l的距离为2，于是可设P点坐标(x,y)，将上述两个条件变为关于x、y的方程组，求出解即得问题结果，也可利用P点在AB的中垂线上，利用中垂线方程和到l的距离求解.

解法一：设点P(x，y)，|PA|=|PB|，

所以.         ①

点P到直线l的距离等于2，所以.      ②

由①②得P(1，-4)或().

解法二：设点P(x，y)，|PA|=|PB|，所以点P在线段AB的垂直平分线上，AB垂直平分线的方程是y=x-5，所以设点P(x，x-5).

点P到直线l的距离等于2，所以.

由上式得到x=1或，所以P(1，-4)或().

【规律总结】 解析几何的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题.

    相比较而言，解法二比解法一更方便，其计算量稍小，这是利用了点P的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现、多思考.