Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆上一点，连接PF₁交y轴于点Q，若△PQF₂为等边三角形，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意|F₁F₂|=2c，依题意，△PQF₁为正三角形，推出PF₂⊥x轴，即可求得此椭圆的离心率．

解答 解：如图：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆上一点，连接PF₁交y轴于点Q，若△PQF₂为等边三角形，可得|QF₁|=|QF₂|，Q是PF₁的中点，
∴PF₂⊥x轴，
可得|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，3$\frac{{b}^{2}}{a}$=2a，即3（a²-c²）=2a²．
解得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，属于中档题．