Question

【题目】若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．

设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（x1，），

与曲线C：g（x）＝aex+1切于点（x2，），

∴2x1=

化简可得，2x1＝，得x1＝0或2x2＝x1+2，

∵2x1＝，且a＞0，∴x1＞0，则2x2＝x1+2＞2，即x2＞1，

由2x1＝得a＝

设h（x）＝（x＞1），则h′（x）＝ ，

∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，

∴h（x）max＝h（2）＝，

∴实数a的取值范围为（0，]，

故选：D．