Question

设f（x）=log

1

2

1-ax

x-1

为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，等价于f（x）-(

1

2

)x＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）-(

1

2

)x，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由

1-ax

x-1

＞0，得（x-1）（1-ax）＞0．
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=

1

a

，∴

1

a

=-1，解得a=-1．
令u（x）=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，设任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
则u（x₁）-u（x₂）=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+

2

x-1

（x＞1）是减函数，
又y=log

1

2

u为减函数，
∴f（x）=log

1

2

x+1

x-1

在（1，+∞）上为增函数．
（2）由题意知log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）=log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x，x∈（3，4），由（1）知log

1

2

x+1

x-1

在[3，4]上为增函数，
又-(

1

2

)x在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=log

1

2

2-(

1

2

)3=-

9

8

，
∴m≤-

9

8

，故实数m的范围是（-∞，-

9

8

]．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．