Question

关于函数f（x）=sin（x-

π

12

）sin（x+

5π

12

），有下列命题：
①此函数可以化为f（x）=-

1

2

sin（2x+

5π

6

）；
②函数f（x）的最小正周期是π，其图象的一个对称中心是（

π

12

，0）；
③函数f（x）的最小值为-

1

2

，其图象的一条对称轴是x=

π

3

；
④函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后得到的函数是偶函数；
⑤函数f（x）在区间（-

π

3

，0）上是减函数．
其中所有正确的命题的序号个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：三角函数的积化和差公式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由三角函数的积化和差公式即可求得函数解析式为：f（x）=-

1

2

sin（2x+

5π

6

），根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．

解答： 解：①f（x）=sin（x-

π

12

）sin（x+

5π

12

）=-

1

2

[cos（2x+

π

3

）-cos（-

π

2

）]=-

1

2

cos（2x+

π

3

）=-

1

2

sin[

π

2

-（2x+

π

3

）]=-

1

2

sin（

π

6

-2x）=-

1

2

sin[π-（

π

6

-2x）]=-

1

2

sin（2x+

5π

6

），故正确；
②由①得f（x）=-

1

2

cos（2x+

π

3

），从而解得T=

2π

2

=π，令2x+

π

3

=kπ+

π

2

可解得：x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，故k=0时，（

π

12

，0）是一个对称中心．故正确；
③由①得f（x）=-

1

2

cos（2x+

π

3

），令2x+

π

3

=kπ可解得：x=

kπ

2

-

π

6

k∈Z，故k=1时，图象的一条对称轴是x=

π

3

，函数f（x）的最小值为-

1

2

．故正确；
④函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后得到的函数为f（x-

π

6

）=-

1

2

cos[2（x-

π

6

）+

π

3

]=-

1

2

cos[2x-

π

3

+

π

3

]=-

1

2

cos2x，是偶函数，故正确；
⑤由①得f（x）=-

1

2

cos（2x+

π

3

），令2kπ-π≤2x+

π

3

≤2π，可解得：kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈Z，即当k=0时函数f（x）在区间（-

2π

3

，-

π

6

）上是减函数，故不正确．
综上可得，所有正确的命题的序号个数是4个．
故选：C．

点评：本题主要考查了三角函数的积化和差公式，三角函数的图象与性质，属于中档题．