Question

给出下列三个命题：①函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称；②函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期为w=1．；③若数列{a_n}是递增数列且a_n=n²+kn+2（n∈N^*），则k∈（-3，+∞）．其中真命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：逐个加以判断：①考查函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象的对称性，可以设F（x）=f（1+x），则函数y=f（1-x）=F（-x），根据F（x）与F（-x）图象关于y轴对称，得出①是真命题；
②根据三角函数周期性的法则，周期应该是两个函数周期的最小公倍数2π，得出②不正确；③由a_n=n²+kn+2（n∈N^*），得出a_n+1-a_n＞0对一切正整数都成立，由此解出k的取值范围，可知③也是正确的．因此不难给出正确答案．

解答：解：①考察函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象的对称性，可以设F（x）=f（1+x），则函数y=f（1-x）=F（-x）
∵F（x）与F（-x）图象关于y轴对称，y轴即直线x=0
∴函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称；故①是真命题；
②函数y=sinx的最小值周期是2π，y=cos|x|的最小值周期是π，
根据三角函数周期性的法则，f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期应该是两个函数周期的最小公倍数2π，得出②不正确；
③由a_n=（n∈N^*），得出a_n+1-a_n＞0对一切正整数都成立，
即：不等式（n+1）2+k（n+1）2-（n²+kn+2）≥0，对任意的正整数n恒成立
解之得k＞-2n-1，而-2n-1的最大值为-3
因此k的取值范围为k∈（-3，+∞），可知③也是正确的．
故选C

点评：本题综合了数列的单调性、函数的周期与函数的图象等问题，考查了命题真假的判断，属于中档题．熟练掌握函数与数列的相关知识，是解决好本题的关键．