如图,已知圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交于点P,A(-1,0),B(1,0),直线l与圆O切于点S(l不垂直于x轴),抛物线过A、B两点且以l为准线.
(Ⅰ)当点S在圆周上运动时,求证:抛物线的焦点Q始终在某一椭圆C上,并求出该椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M、N是(Ⅰ)中椭圆C上除短轴端点外的不同两点,且,问:△MON的面积是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:设Q(x,y),如图所示,作,垂直于直线l,,为垂足,连结AQ,BQ,OS,则OS⊥l ∵OS是直角梯形B的中位线, ∴||+||=2|OS| 由抛物线的定义,知||=|AQ|,||=|BQ|. ∴|QA|+|QB|=||+||=2|OS|=4>2=|AB|, 3分 由椭圆的定义,得焦点Q在以A,B为焦点的椭圆 上,且2a=4,2c=2,∴b2=3 ∴椭圆C的方程为 5分 (Ⅱ)∵ ∴P、M、N三点共线 6分 由题意,直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=kx+2, 代入椭圆方程,得 由 8分 设,由韦达定理,得, ∴ 原点O到直线PN的距离为 10分 ∴
13分 当且仅当时,即k=±时取等号. ∴△MON的面积有最大值 14分 |
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(本小题满分15分)如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其右焦点为F.若点P(-1,1)为圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明:直线PQ与圆O相切.
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如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,点P(-1,1)为圆O上一点.曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,点F为其右焦点.
过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:直线PQ与圆O相切.
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