Question

如图，已知圆O：x²＋y²＝4与y轴正半轴交于点P，A(－1，0)，B(1，0)，直线l与圆O切于点S(l不垂直于x轴)，抛物线过A、B两点且以l为准线．

(Ⅰ)当点S在圆周上运动时，求证：抛物线的焦点Q始终在某一椭圆C上，并求出该椭圆C的方程；

(Ⅱ)设M、N是(Ⅰ)中椭圆C上除短轴端点外的不同两点，且，问：△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：设Q(x，y)，如图所示，作，垂直于直线l，，为垂足，连结AQ，BQ，OS，则OS⊥l 　　∵OS是直角梯形B的中位线， 　　∴||＋||＝2|OS| 　　由抛物线的定义，知||＝|AQ|，||＝|BQ|． 　　∴|QA|＋|QB|＝||＋||＝2|OS|＝4＞2＝|AB|，　　3分 　　由椭圆的定义，得焦点Q在以A，B为焦点的椭圆 　　上，且2a＝4，2c＝2，∴b2＝3 　　∴椭圆C的方程为　　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ)∵ 　　∴P、M、N三点共线　　　　　　　　　　　　　　　6分 　　由题意，直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y＝kx＋2， 　　代入椭圆方程，得 　　由　　　　8分 　　设，由韦达定理，得， 　　∴ 　　原点O到直线PN的距离为　　　　10分 　　∴ 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分 　　当且仅当时，即k＝±时取等号． 　　∴△MON的面积有最大值　　　　　　　　14分