Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．
（1）求BM的长；
（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，

∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON平面BDEF，

∴ON⊥平面ABCD，

以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：

∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，

∴OB=OD=1，OA=OC= ，

∵四边形BDEF是矩形，DE=2，

∴A（﹣ ，0，0），B（0，1，0），C（ ，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），

设BM=h，则M（0，1，h），

∴ =（0，2，h）， =（ ，﹣1，2），

∵DM⊥平面ACE，∴ ，

∴﹣2+2h=0，解得h=1，

∴BM=1

（2）解： =（ ，﹣1，0）， =（0，2，1），

设平面ADM的法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴ ，令x= 得 =（ ，3，﹣6），

又AC⊥平面BDM，∴ =（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，

∴cos＜ ＞= = = ，

∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为

【解析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出 和 的坐标，令 =0解出h；（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的性质是解答本题的根本，需要知道两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．