Question

下列函数中既有奇函数，又在区间[-1，1]上单调递增的是（　　）

• A、f（x）=sin2x
• B、f（x）=x+tanx
• C、f（x）=x³-x
• D、f（x）=2^x+2^-x

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：直接结合函数奇偶性的概念和常见函数的单调性进行逐个判断即可．

解答：解：对于选项A：
∵f（x）=sin2x，
∴f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=f（x）
∴f（x）为奇函数，
且该函数的单调增区间为[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，（k∈Z），
∴[-

π

4

，

π

4

]上为增函数，
∴在区间[-1，1]上不是单调递增，
∴选项A不符合条件；
对于选项B：
∵f（x）=x+tanx，
∴f（-x）=-x+tan（-x）=-（x+tanx）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
在区间[-1，1]上是单调递增，
∴选项B符合条件；
对于选项C：
f（x）=x³-x，
f（-x）=（-x）³-（-x）=-（x³-x）=-f（x），]
∵f′（x）=3x²-1，
f′（x）≥0，
∴x≥

3

3

，
∴[

3

3

，+∞）上为增函数，
∴在区间[-1，1]上不是单调递增，
∴选项C不符合条件；
对于选项D：
∵f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴选项D不符合条件；
故选B．

点评：本题重点考查函数的基本性质，对于奇偶性和单调性需要切实注意区间的对称性问题，属于基础题．