Question

【题目】圆心在原点的两圆半径分别为，点是大圆上一动点，过点作轴的垂线，垂足为， 与小圆交于点，过作的垂线，垂足为，设点坐标为.

（1）求的轨迹方程；

（2） 已知直线： （是常数，且， ， 是轨迹上的两点，且在直线的两侧，满足两点到直线的距离相等.平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点坐标；若不可能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】试题分析： 求出， 的坐标，根据、、三点共线，算出的轨迹方程；

设点的坐标，代入椭圆方程，点差法算出，代入到的中点和坐标，可以得到，整理即可计算出结果

解析：（1）依题意可得、，

又、、三点共线，可得，

整理得，即，

的轨迹是以为半长轴， 为半短轴，焦点在轴的椭圆.

（2）由题意可知、的中点在直线： 上，

设、、， ，

又、在椭圆上，有

，

可得.

又， ，

∴， ，

∵，∴是等腰三角形，∴.

即恒成立，

整理得，关于恒成立，

∴ ，

∴存在满足题意.