Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以故椭圆C的方程为 

（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

 由得.           ……①

由解得.    ……②

因为是方程①的两根，所以，于是

=，     .

因为，所以点G不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 

即  亦即

解得，此时②也成立.    

故直线斜率的取值范围是

【解析】略