Question

17．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品12千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出此时的最大利润．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将x=5时y=12代入函数解析式计算即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知y=$\frac{4}{x-3}$+10（x-6）²，利用“利润=销售收入-成本”代入计算可知利润f（x）=4+10（x-3）（x-6）²，通过求导考查f（x）在区间（3，6）上的单调性，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，12=$\frac{a}{5-3}$+10×（5-6）²，
解得：a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y=$\frac{4}{x-3}$+10（x-6）²，
当该商品的成品为3元/千克时，记商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），
则f（x）=（x-3）y=（x-3）[$\frac{4}{x-3}$+10（x-6）²]=4+10（x-3）（x-6）²，
∴f（x）′=30（x-4）（x-6），
又∵3＜x＜6，
∴f（x）在区间（3，4）上单调递增，在区间（4，6）上单调递减，
∴当x=4时f（x）取最大值f（4）=4+10×（4-3）（4-6）²=44，
∴当销售价格为4元/千克时商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为44元．

点评 本题考查是一道关于函数的简单应用题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．