Question

已知，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表达式；
（2）若对一切都有kg（a）-1＜0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将f（x）=ax²-2x+1配方化为，由可求，求得N（a）；根据f（x）的对称轴在区间[1，3]的位置情况分类讨论，求得M（a），从而求得g（a）的解析表达式；
（2）对，分段研究函数的单调性，从而可求得各段上g（a）及的取值范围，及k满足的关系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解决问题．
解答：解：（1）x∈[1，3]
由知，．从而
∴当即时，M（a）=f（3）=9a-5
当即时，M（a）=f（1）=a-1
∴
（2）当时，为减函数．
∴．
要使kg（a）-1＜0恒成立，则恒成立．而
∴．
又当时，为增函数
∴
要使kg（a）-1＜0恒成立．则恒成立．而
∴
综上得，．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想及恒成立思想的应用，中档题．