Question

在二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求展开式的常数项； 
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中各项的系数和．

Answer 1

分析：由前三项系数成等差数列建立方程求出n，
（1）由二项展开式的项的公式，令x的指数为0即可求出常数项；
（2）根据n=8得到展开式有9项，二项式系数最大的为正中间那一项，即求出第五项即可；
（3）可令二项式中的变量为1，计算可得二项式各项的系数和；

解答：解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C_n⁰，

1

2

C_n¹，

1

4

C_n²；
∴C_n⁰+

1

4

C_n²=2×

1

2

C_n¹
∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）通项公式为  T_r+1=C₈^r（-

1

2

）^rx 

8-2r

3

，
令 

8-2r

3

=0，得r=4
所以展开式中的常数项为  T₅=C₈⁴（-

1

2

）⁴=358
（2）∵n=8
∴二项式系数最大的为 T₅=C₈⁴（-

1

2

）⁴=358；
（3）令二项式中的x=1，则有展开式中各项的系数和为 （1-

1

2

）⁸=（

1

2

）⁸．…（10分）

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理及二项项的展开式，二项式系数的性质本题属于公式运用型，考查了推理判断的能力及计算能力．