Question

（2013•江苏）已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|

a

-

b

|=

2

，求证：

a

⊥

b

；
（2）设

c

=（0，1），若

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

Answer 1

分析：（1）由给出的向量

a

，

b

的坐标，求出

a

-

b

的坐标，由模等于

2

列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；
（2）由向量坐标的加法运算求出

a

+

b

，由

a

+

b

=（0，1）列式整理得到α-β=

2

3

π，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．

解答：解：（1）由

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
则

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
由|

a

-

b

|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，
得cosαcosβ+sinαsinβ=0．
所以

a

•

b

=0．即

a

⊥

b

；
（2）由

a

+

b

=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)=(0，1)
得

cosα+cosβ=0① sinα+sinβ=1②

，①²+②²得：cos(α-β)=-

1

2

．
因为0＜β＜α＜π，所以0＜α-β＜π．
所以α-β=

2

3

π，α=

2

3

π+β，
代入②得：sin(

2

3

π+β)+sinβ=

3

2

cosβ+

1

2

sinβ=sin(

π

3

+β)=1．
因为

π

3

＜

π

3

+β＜

4

3

π．所以

π

3

+β=

π

2

．
所以，α=

5

6

π，β=

π

6

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．