Question

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）当时，求直线l的方程；
（Ⅱ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．…（2分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0．
因为，所以．则由，得．∴直线l：4x-3y+4=0．
从而所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）因为CM⊥MN，∴．
①当l与x轴垂直时，易得，则．
又，∴…（8分）
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由，得N（，）．
则．∴=．
综上，与直线l的斜率无关，且．…（13分）
分析：（Ⅰ）通过直线的斜率存在与不存在两种情况分别判断直线与圆的关系，利用圆心距、半径、半弦长的关系，通过圆心到直线的距离，求直线l的方程；
（Ⅱ）通过的表达式，转化为的关系，通过直线l与x轴是否垂直，即可请求出其值；
点评：本题考查直线与圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分类讨论的思想与计算能力．