Question

为激发学生的学习兴趣，吴萱老师上课时在黑板上写出三个集合：A={x|x（△•x-1）＜0}，B={x|x²-3x-4≤0}，C={x|log₃x＜-1}；然后叫小南、小广、小郎三位同学到讲台上，并将“△”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是小南、小广、小郎三位同学的描述：小南：此数为小于6的正整数； 小广：A是B成立的充分不必要条件； 小郎：A是C成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学说的都对．
（Ⅰ）试求“△”中的数；
（Ⅱ）若D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}，求a的一个取值范围，使它成为A∩D=(0，

1

2

)一个必要不充分条件．

Answer 1

（I）由题意B={x|x²-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，C={x|log₃x＜-1}={x|0＜x＜

1

3

}
A={x|x（△•x-1）＜0}={x|0＜x＜

1

△

}
由A是B成立的充分不必要条件知，A真包含于B，故

1

△

≤4，再由此数为小于6的正整数得出△≥

1

4

，
由A是C成立的必要不充分条件得出C包含于A，故

1

△

＞

1

3

，得出△＜3，
所以△=1或2；
（II）当△=1时，A={x|x（x-1）＜0}={x|0＜x＜1}，
D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此时A∩D=(0，

1

2

)不可能成立，
当△=2时，A={x|x（2x-1）＜0}={x|0＜x＜

1

2

}，
D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此时要使A∩D=(0，

1

2

)成立，
则-a＜8，即a＞-8，故D={x|-a≤x≤8}，
当-a≤0时，即a≥0时，此时a的取值集合是A∩D=(0，

1

2

)一个必要不充分条件．
故所求的a的一个取值范围是[0．+∞）．