Question

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：

x=1+cosθ y=sinθ

(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先将原极坐标方程ρcos(θ+

π

4

)=0利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．
（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．

解答：解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x-1）²+y²=1．
由ρcos(θ+

π

4

)=0得：ρcosθ-ρsinθ=0，
即直线l的直角坐标方程为：x-y=0．
（2）圆心（1，0）到直线l的距离为d=

1

1+1

=

2

2

，
则圆上的点M到直线的最大距离
为d+r=

2

2

+1（其中r为曲线C的半径），|AB|=2

12-( 2 2 )2

=

2

．设M点的坐标为（x，y），
则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y-1=0，
则联立方程

(x-1)2+y2=1 x+y-1=0

，
解得

x= 2 2 +1 y=- 2 2

，或

x=- 2 2 +1 y= 2 2

，
经检验

x=- 2 2 +1 y= 2 2

舍去．
故当点M为(

2

2

+1，-

2

2

)时，△ABM面积的最大值为（S_△ABM）_max=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．