Question

已知a＞0，函数f(x)=ln(2-x)+ax.

(1)设曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线为l，若l与圆(x+1)²+y²=1相切，求a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)求函数f(x)在［0,1］ 的最小值.

Answer 1

解:(1)依题意，有x＜2,f′(x)=a+,

过（1，f(1)）点的直线的斜率为a-1,所以过（1，f(1)）点的直线方程为y-a=(a-1)(x-1).

又已知圆圆心为（-1，0），半径为1，

依题意，有=1.解之，

得a=1.

(2)f′(x)==a［x-(2-)］,

当a＞0时，2-＜2,

令f′(x)＞0，

解得x＜2-;令f′(x)＜0,解得2-＜x＜2.

所以(-∞,2-)是f(x)的增区间；（2-,2）是f(x)的减区间.

(3)当2-≤0，即0＜a≤时，f(x)在［0,1］上是减函数，

所以f(x)的最小值为f(1)=a.

当0＜2-a＜1，即＜a＜1时，f(x)在(0,2-)上是增函数，在（2-,1）上是减函数，

所以需比较f(0)=ln2和f(1)=a两个值的大小.

因为＜＜2＜e,所以=ln＜ln2＜lne=1.

所以，当＜a＜ln2时，最小值为a;当ln2≤a＜1时，最小值为ln2.

当2-≥1，即a≥1时，f(x)在［0,1］上是增函数，所以最小值为f(0)=ln2.

综上，当0＜a＜ln2时，f(x)的最小值为a，当a≥ln2时，f(x)的最小值为ln2.