Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）其中q为非零常数，函数，数列{b_n}满足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=f（1），设，{b_n}的前n项和为T_n，，求A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）当时，试比较与f（B_n）的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）S_n=且q≠1
当n=1时，（1-q）S₁=2-qa₁?a₁=2
当n≥2时，（1-q）S_n-（1-q）S_n-1=qa_n-1-qa_n?a_n=qa_n-1
∴{a_n}是以2为首项，公比为q的等比数列．
（Ⅱ） 当q=时，由（1）得 a_n=2
又 f（x）=，∴f′（x）=x+2
由b_n+1=f′（b_n）得b_n+1=f′（b_n）=b_n+2
∴{b_n}是以2为首项，公差为2的等差数列，
故b_n=2n
∴c_n= T_n==n（n+1），
B_n=
A_n=c₁+c₂+…+c_n=1•++…+…①
∴…②
①-②得∴
=
∴
∴
当n=1时，＜0
∴
当n≥2时，
令g（x）=3^x+1-（2x²+5x+3）
则g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5），g^∥（x）=3^x+1（ln3）²-4在[2，+∞）上为单调增函数，
∴g^∥（x）=3^x+1（ln3）²-4≥3³（ln3）²-4＞0
∴g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5）在[2，+∞）上为单调增函数，
g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5）≥3³ln3-9＞27-9＞0
g（x）=3^x+1-（2x²+5x+3）在[2，+∞）上为单调增函数，
∴当n≥2时，g（n）=3ⁿ⁺¹-（2n²+5n+3）≥3³-（2×4+10+3）＞0
即当n≥2时，＞0
∴当n≥2时，
又f′（x）=x+2＞0对x≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当n=1时f（）＜f（B_n）
当n≥2时f（）＞f（B_n）．
分析：（I）利用n≥2时，数列的通项a_n与前n项和S_n的关系可得a_n=qa_n-1，再根据等差，等比数列的定义判断即可．
（II）先求出{a_n}与{b_n}的通项公式，从而得到{c_n}的通项以及Tn，然后利用裂项求和法求出B_n，利用错位相消法求出A_n，再将与B_n作差比较即可．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，同时考查了裂项求和法和错位相消法的运用，属于难题．