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19.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点.
(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=2$\sqrt{2}$,求异面直线BC1与A1D所成角的大小.

分析 (Ⅰ)连接AC1A1C于点F,连接DF,则BC1DF.由此能证明BC1∥平面A1CD
(Ⅱ)以C为坐标原点,$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴正方向,$\overrightarrow{CB}$的方向为y轴正方向,$\overrightarrow{C{C}_{1}}$的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系C-xyz.利用向量法能求出异面直线BC1与A1D所成角.

解答 证明:(Ⅰ)连接AC1A1C于点F,则FAC1的中点.
DAB的中点,连接DF,则BC1DF
因为DF?平面A1CDBC1?平面A1CD
所以BC1∥平面A1CD
解:(Ⅱ)∵AA1=AC=CB=2,AB=2$\sqrt{2}$,∴ACBC
C为坐标原点,$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴正方向,$\overrightarrow{CB}$的方向为y轴正方向,$\overrightarrow{C{C}_{1}}$的方向为z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
D(1,1,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),B(0,2,0)
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(0,-2,2),$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=(-1,1,-2).
设异面直线BC1与A1D所成角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{|0-2-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴θ=30°,
∴异面直线BC1与A1D所成角为30°.

点评 本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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