Question

【题目】2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：

组别(单位：百元）
频数	3	11	20	27	26	13

(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；

(2)在(1)的条件下，该公司为增加销售额，特别为这100家超市制定如下抽奖方案：

①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；

②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.

设超市A参加了抽查，且超市A在3天内进货总价百元.记X（单位：元)表示超市A获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望.

附参考数据与公式：，若，则，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）利用频数分布表，计算出平均数，根据题目所给参考数据求得，根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据，求得指定区间的概率.（2）先计算出的值，由此确定抽奖次数，根据二项分布概率计算公式，计算出概率，结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.

解：（1）由题意得

，因为，

所以，

，

所以，，

，

所以，，

（2）因为，所以，

所以，超市A获得4次抽奖机会，

从而，X的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，

又因为每次抽奖不中的概率为，所以

，，，

，.

所以，X的分布列为

X	0	1000	2000	3000	4000
P

所以，X的数学期望为元.