Question

3．指出当角x取何值时下列函数取得最大值和最小值．
（1）y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）；
（2）y=sin2x-cos2x．

Answer 1

分析 （1）当函数取得最大值时，3x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，当函数取得最小值时，3x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解出x即可；
（2）先将式子化简成sin（2x-$\frac{π}{4}$），当函数取得最大值时，2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，当函数取得最小值时，2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解出x即可．

解答 解：（1）令3x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得x=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
令3x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得x=$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴当x=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$时，k∈Z，y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）取得最大值；
当x=$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{12}$时，k∈Z，y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）取得最小值．
（2）y=sin2x-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
令2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得x=kπ+$\frac{3}{8}π$，
令2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得x=kπ-$\frac{π}{8}$，
∴当x=kπ+$\frac{3}{8}π$时，k∈Z，y=sin2x-cos2x取得最大值；
当x=kπ-$\frac{π}{8}$时，k∈Z，y=sin2x-cos2x取得最小值．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，结合正弦函数图象可得到相位的对应值，属于基础题．