Question

（2013•金华模拟）已知抛物线y²=4px（p＞0）与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  2

  +1
• C．

  3

  +1
• D．

  2 2 +1

  2

Answer 1

分析：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，由抛物线方程求得A（p，2p），结合双曲线的焦距，得到△AFF'是以AF'为斜边的等腰直角三角形．再根据双曲线定义，得实轴2a=2p（

2

-1），而焦距2c=2p，由离心率公式可算出该双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'
∵F是抛物线y²=4px的焦点，且AF⊥x轴，
∴设A（p，y₀），得y₀²=4p×p，得y₀=2p，A（p，2p），
因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2

2

p
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距2c=|FF'|=2p，实轴2a=|AF'|-|AF|=2p（

2

-1）
由此可得离心率为：e=

c

a

=

2c

2a

=

2p

2p( 2 -1)

=

2

+1
故选：B

点评：本题给出双曲线与抛物线有共同的焦点，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线、抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．