Question

已知向量

a

1，

a

2，

a

3，…

a

n…满足如下条件：

a

n-

a

n-1=

d

（n=2，3，4，…），

d

与

a1

的夹角为

2π

3

，且|

a

1|=4|

d

|=2，则数列|

a

1|，|

a

2|，|

a

3|，…|

a

n|…中最小的项是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：运用等差数列的通项公式，求得

an

，再由向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，结合二次函数的最值，即可得到．

解答： 解：

a

n-

a

n-1=

d

（n=2，3，4，…），
则

an

=

a1

+（n-1）

d

，
由

d

与

a1

的夹角为

2π

3

，且|

a1

|=4，|

d

|=2，
则

a1

•

d

=4×2×（-

1

2

）=-4，
即有|

an

|²=

an

²=

a1

2+（n-1）²

d

2+2（n-1）

a1

•

d

=16+4（n-1）²-8（n-1）=4（n-2）²+12，
当n=2时，|

a2

|²取得最小，且为12．
即有最小的项为2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查等差数列的通项公式的运用，考查向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．