Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-4，0），B（0，-2），半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为

3

r．
（1）若r为正常数，求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心M（a，b），利用圆心在直线AB的垂直平分线上，从而|MA|=|MB|，再结合圆心在y轴右侧（即a＞0），圆M被y轴截得的弦长为

3

r，列方程组解之即可；
（2）依题意，可设直线l：y=kx+b与圆M相切，利用圆心到直线l的距离等于半径求得m，判断即可．

解答：解：（1）设圆心M（a，b），由题意可知

( 3 2 r)2+a2=r2 a＞0 (a+4)2+b2=a2+(b+2)2

，解得

a= 1 2 r b=r+3

，
所以圆M的方程为(x-

1

2

r)2+（y-r-3）²=r²；
（2）
设直线l：y=kx+b，
则

|k× r 2 -r-3+b|

1+k2

=r对任意r＞0恒成立，
由|（

k

2

-1）r+b-3|=r

1+k2

得：
(

k

2

-1)2+（k-2）（b-3）r+（b-3）²=（1+k²）r²，
∴

( k 2 -1)2=1+k2 (k-2)(b-3)=0 (b-3)2=0

，
解得

k=0 b=3

或

k=- 4 3 b=3

．
∴存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查理解题意与解方程组的能力，属于中档题．