Question

函数y=f（x）的图象与直线x=a，y=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

，则（1）函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积为

4

3

，（2）函数y=sin（3x-π）在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为

π+

2

3

．

Answer 1

分析：（1）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积，得出函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积是函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积．
（2）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，同理可求．

解答：解：（1）∵函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（n∈N⁺），
∴对于函数y=sin3x而言，
n=3，
∴函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积为：

2

n

=

2

3

则函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积为

2

3

×2=

4

3

（2）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，
∴y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为 π+

2

3

故答案为：

4

3

；π+

2

3

．

点评：本小题主要考查类比推理、三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．