Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=3a_n+1，数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₆=（　　）

• A． $\frac{{3}^{2015}-2016}{2}$
• B． $\frac{{3}^{2016}-2016}{2}$
• C． $\frac{{3}^{2015}-2017}{2}$
• D． $\frac{{3}^{2016}-2017}{2}$

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式求出{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是等比数列，然后求解数列的和，推出S₂₀₁₆即可．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=3a_n+1，
可得：a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），所以{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是等比数列，首项是1，公比为3，
S₂₀₁₆+1008=$\frac{1-{3}^{2016}}{1-3}$=$\frac{{3}^{2016}-1}{2}$．
S₂₀₁₆=$\frac{{3}^{2016}-2017}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．