Question

集合A={（x，y）|y=-x²+mx-1}，B={（x，y）|y=3-x，0≤x≤3}．
（1）当m=4时，求A∩B；
（2）若A∩B是只有一个元素的集合，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将m=4代入A确定出A，联立A与B中欧的函数解析式，求出交点坐标，即为两集合的交集；
（2）集合A表示抛物线上的点，抛物线y=-x²+mx-1，开口向下且过点（0，-1），集合B表示线段上的点，要使A∩B只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，分别求出m的范围即可．

解答：解：（1）当m=4时，集合A={（x，y）|y=-x²+4x-1}，B={（x，y）|y=3-x，0≤x≤3}，
联立得：

y=3-x y=-x2+4x-1

，
消去y得：3-x=-x²+4x-1，
即（x-1）（x-4）=0，
解得：x=1或x=4（不合题意，舍去），
将x=1代入y=3-x得y=2，
则A∩B={（1，2）}；
（2）集合A表示抛物线上的点，抛物线y=-x²+mx-1，开口向下且过点（0，-1），集合B表示线段上的点，
要使A∩B只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图：

（i）由图1知，在函数f（x）=-x²+mx-1中，只要f（3）≥0，即-9+3m-1≥0，
解得：m≥

10

3

；
（ii）由图2知，抛物线与直线在x∈[0，3]上相切，
联立得：

y=-x2+mx-1 y=3-x

，
消去y得：-x²+mx-1=3-x，
整理得：x²-（m+1）x+4=0，
当△=（m+1）²-16=0，
∴m=3或m=-5，
当m=3时，切点（2，1）适合，当m=-5时，切点（-2，5）舍去，
综上，m范围为m=3或m≥

10

3

．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．