Question

【题目】设,()是任意的和为正数的个不同的实数,(.)是这个数的一个排列.若对任意的,有,则称()是一个“好排列”.求好排列个数的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

一方面,当,吨,均小于0时,易知好排列个数为.

先证明：好排列个数的最小值就是

对任意满足条件的.将放在圆周上,而圆排列的个数为.

接下来证明：任意一个圆排列均对应于题设所求的一个好排列,且不同的圆排列对应不同的好排列.

设的一个圆排列为 (约定.),定义元好排列()满足对任意的,,则()为元好排列.

对所有的,取以为第一项的好排列,易知这种好排列是存在的.一个正数就为1元好排列.取好排列中最长的一个,不妨设该好排列的第1项为,长度为,即为好排列.

(l)若,则结论得证.

(2)若,则由的最大性知.

又,故.

设为使的最小的,

则且

均为正数.故()为元好排列.

于是,( ; )为长度大于l的好排列,矛盾.

【注】若()与()有重复项,则去掉中的重复项,同样可以得到长度大于的好排列.

从而,.

因此,一个圆排列对应一个好排列.又显然不同的圆排列对应不同的好排列.

综上,好排列至少有个.