Question

设抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M、N，点P是MN的中点．
（1）求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：先设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，根据抛物线的定义可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，然后联立抛物线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．
（2）先假设存在a满足条件，根据2|AP|=|AM|+|AN|，再由∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|，|AP|=|PP′|，故可得到点P必在抛物线上，但与点P是弦MN的中点矛盾，可得到结论．
解答：解：（1）设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，由抛物线定义得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，又圆的方程为[x-（a+4）]²+y²=16，将y²=4ax代入得：x²-2（4-a）•x+a²+8a=0，∴x_M+x_N=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．
（2）假设存在这样的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|．
由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，
所以这样的a不存在．
点评：本题主要考查抛物线的基本性质．考查综合运用能力和计算能力．