Question

已知两条直线l₁：mx+8y+n=0和l₂：2x+my-1=0，试分别确定m、n的值，使：
（1）l₁与l₂相交于一点P（m，1）；
（2）l₁∥l₂且l₁过点（3，-1）；
（3）l₁⊥l₂且l₁在y轴上的截距为-1．

Answer 1

分析：（1）由于l₁与l₂相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l₁，l₂的方程得m²+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得即可．
（2）由于l₁∥l₂且l₁过点（3，-1），根据平行线的斜率相等及点适合直线l₁的方程可得

- m 8 =- 2 m 3m-8+n=0

，解得即可；
（3）由l₁⊥l₂且l₁在y轴上的截距为-1，当m=0时，l₁的方程化为8y+n=0，l₂的方程化为2x-1=0．可得-8+n=0，解得即可．而m≠0时，直线l₁与l₂不垂直．

解答：解：（1）由于l₁与l₂相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l₁，l₂的方程得m²+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得m=

1

3

，n=-

73

9

．
（2）∵l₁∥l₂且l₁过点（3，-1），∴

- m 8 =- 2 m 3m-8+n=0

，解得

m=4 n=-4

或

m=-4 n=20

（3）由l₁⊥l₂且l₁在y轴上的截距为-1，当m=0时，l₁的方程化为8y+n=0，l₂的方程化为2x-1=0．
∴-8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．
而m≠0时，直线l₁与l₂不垂直．
综上可知：m=0，n=8．

点评：本题考查了直线的平行、垂直与斜率的关系、直线相交问题，属于中档题．