Question

设a＞0，函数f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx．
（1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）由对数函数的定义得到函数的定义域为x大于0，求出f′（x），根据曲线在（2，f（2））处切线的斜率为-1，得到f'（2）=-1，代入导函数得到关于a的方程，求出a的解即可；
（2）令f′（x）=0求出x的值为1和a，然后分0＜a＜1，a=1和a＞1三个区间在定义域内利用x的范围讨论导函数的正负即可得到函数的增减区间，利用函数的增减性得到函数的极值即可．

解答：解：（1）由已知x＞0
f′(x)=x-(a+1)+

a

x

曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，
所以f'（2）=-1即2-(a+1)+

a

2

=-1，解得a=4
（2）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

①当0＜a＜1时，
当x∈（0，a）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点．
②当a=1时，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，
当x=1时，f'（x）=0，
当∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
所以函数f（x）在定义域内单调递增，此时f（x）没有极值点．
③当a＞1时，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点．
综上，当0＜a＜1时，x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点；
当a=1时，f（x）没有极值点；
当a＞1时，x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点

点评：此题是一道综合题，要求学生会求曲线上过某点的切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值．以及会运用分类讨论的数学思想解决实际问题．