Question

5．随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[0，0.5）	4	0.10
[0.5，1）	m	p
[1，1.5）	10	n
[1.5，2）	6	0.15
[2，2.5）	4	0.10
[2.5，3）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值；
（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；
（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率=$\frac{频数}{总数}$，利用频率分布表频率分布直方图能求出表中的M，p及图中a的值．
（Ⅱ）先求出$n=\frac{10}{40}=0.25$，由此利用频率分布直方图能估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间．
（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人，由此利用列举法能求出两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵分组[0，0.5）内的频数是4，频率是0.10
∴$\frac{4}{M}=0.10$，得M=40…（1分）
∵频数之和为M=40
∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14
∴分组[0.5，1）内的频率$p=\frac{m}{M}=\frac{14}{40}=0.35$…（2分）
∵a是分组[0.5，1）内频率与组距的商，
∴$a=\frac{p}{0.5}=\frac{0.35}{0.5}=0.7$…（3分）
（Ⅱ）$n=\frac{10}{40}=0.25$，
设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x，
则x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…（7分）
（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人…（8分）
设一天内低头玩手机的时间在区间[2，2.5）内的人为a₁，a₂，a₃，a₄，
在区间[2.5，3）内的人为b₁，b₂，
则任取2人有：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），（a₂，a₄），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（b₁，b₂）共15种情况…（10分）
其中两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内有：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₂，a₃），（a₂，a₄），（a₃，a₄）共6种情况…（11分）
∴两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率为$p=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．