Question

记平面内与两定点A₁（-2，0），A₂（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m＜0）的动点B的轨迹，加上A₁，A₂两点所构成的曲线为C
（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；
（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l₁交曲线C于M．N两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l₂交x轴于点Q，且满足•．试求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），由条件可得mx²-y²=4m（x≠±2），对m分m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三种情况讨论即可；
（Ⅱ）设出直线l₁的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，确定|MN|、|PQ|，即可求得结论．
解答：解：（I）设动点B（x，y）．
当x≠±2时，由条件可得•=•==m
即mx²-y²=4m（x≠±2）．
又A₁（-2，0）、A₂（2，0）的坐标满足mx²-y²=4m．
当m＜-1时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=4，曲线C是圆心在原点上的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；
（Ⅱ）由（I）知，曲线C的方程为+=1．
依题意，直线l₁的方程为y=k（x-1）．
代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
由韦达定理得：x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴弦MN的中点为P（，）
∴|MN|==
直线l₂的方程为
由y=0，可得x=，则Q（，0），
∴|PQ|=
∴=
∵k²+1＞1，∴0＜＜1
∴
∴的取值范围为（0，）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强．