【题目】已知函数.
(1)函数在处的切线过点,求的方程;
(2)若且函数有两个零点,求的最小值.
【答案】(1)即;(2)8.
【解析】
(1)首先求出在处的切线方程,然后代入点,求参数的值;
(2)首先利用导数判断函数的单调性和最小值,因为有两个零点,所以即得,再根据零点存在性定理证明在上有一个零点,在上有一个零点,得到的最小值.
(1)因为,
所以,
所以又,
所以在处切线方程为,
即.
又因为直线过点,所以得即.
所以直线方程为即.
(2)因为.
令得即,
因为所以,
所以当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以.
因为有两个零点,所以即得,
又因为,
.
设
则,因为在上单调递增,
所以,所以在单调递增,
所以.
又,所以,
故在上有一个零点,在上有一个零点,
即在上有两个零点,
则又且,
所以得最小值为8.
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【题目】近年来,随着网络的普及,数码产品早已走进千家万户的生活,为了节约资源,促进资源循环利用,折旧产品回收行业得到迅猛发展,电脑使用时间越长,回收价值越低,某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,在如图对时间使用的分组中,将使用时间落入各组的频率视为概率.
(1)若在该市场随机选取1个2018年成交的二手电脑,求其使用时间在上的概率;
(2)根据电脑交易市场往年的数据,得到如图所示的散点图及一些统计量的值,其中(单位:年)表示折旧电脑的使用时间,(单位:百元)表示相应的折旧电脑的平均交易价格.
由散点图判断,可采用作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限的回归方程,若,,选用如下参考数据,求关于的回归方程,并预测在区间(用时间组的区间中点值代表该组的值)上折旧电脑的价格.
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
附:参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.参考数据:,,,,.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),将曲线经过伸缩变换后得到曲线,在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线的方程化为极坐标方程;
(2)已知点是曲线上的任意一点,求点到直线的距离的最小值.
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【题目】学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲,乙,丙,丁四位同学对这四件参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”; 乙说:“ 作品获得一等奖”;
丙说:“ 两件作品未获得一等奖”; 丁说:“是作品获得一等奖”.
评奖揭晓后,发现这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是_________.
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【题目】如图1,平面五边形中,,,,,是边长为2的正三角形.现将沿折起,得到四棱锥(如图2),且.
(1)求证:平面平面;
(2)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,设抛物线C1:的准线1与x轴交于椭圆C2:的右焦点F2,F1为C2的左焦点.椭圆的离心率为,抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P,连接PF1并延长其交C1于点Q,M为C1上一动点,且在P,Q之间移动.
(1)当取最小值时,求C1和C2的方程;
(2)若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,当△MPQ面积取最大值时,求面积最大值以及此时直线MP的方程.
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【题目】某高校进行自主招生选拔,分笔试和面试两个阶段进行,规定分数不小于笔试成绩中位数的具有面试资格.现有1000余名学生参加了笔试考试,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(1)求获得面试资格应划定的最低分数线;
(2)从笔试得分在区间的学生中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,那么从得分在区间与各抽取多少人?
(3)从(2)抽取的7人中,选出4人参加学校座谈交流,学校打算给这4人一定的物质奖励,若该生分数在给予300元物质奖励,若该生分数在给予500元物质奖励,用表示学校发的奖金数额,求的分布列和数学期望.
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