Question

已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点P（0，p）的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M．
（Ⅰ）证明：直线l₁和l₂的斜率之积为定值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0．设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=-2p²，将抛物线的方程改写为y=

1

2p

x2，求导得y′=

1

p

x．由此能够证明直线l₁和l₂的斜率之积为定值；
（Ⅱ）设M（x，y）．因为直线l₁的方程为y-y₁=k₁（x-x₁），即y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，同理，直线l₂的方程为y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)，
联立这两个方程，消去y得

x 2 1

2p

-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)-

x1

p

(x-x1)，由此能够求出点M的轨迹方程．

解答：解：
（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，
将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0（2分）
设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=-2p²（3分）
将抛物线的方程改写为y=

1

2p

x2，求导得y′=

1

p

x．
所以过点A的切线l₁的斜率是k1=

x1

p

，过点B的切线l₂的斜率是k2=

x2

p

，
故k1k2=

x1x2

p2

=-2，所以直线l₁和l₂的斜率之积为定值-2（6分）

（Ⅱ）解：设M（x，y）．因为直线l₁的方程为y-y₁=k₁（x-x₁），即y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，
同理，直线l₂的方程为y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)，
联立这两个方程，消去y得

x 2 1

2p

-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)-

x1

p

(x-x1)，
整理得(x1-x2)(x-

x1+x2

2

)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=

x1+x2

2

（10分）
此时y=

x 2 1

2p

+

x1

p

(x-x1)=

x 2 1

2p

+

x1

p

(

x1+x2

2

-x1)=

x1x2

2p

=-p（12分）
由（Ⅰ）知，x₁+x₂=2pk，所以x=

x1+x2

2

=pk∈R，
所以点M的轨迹方程是：y=-p．（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要注意韦达定理的合理运用和公式的灵活运用．